SPI「場合の数」の解き方

「場合の数」は、何通りの選び方・並べ方があるかを求める問題です。「順番を区別するかどうか」で式が変わるため、設問文が「選ぶ」なのか「並べる」なのかを最初に見極めることが、この形式を解くうえで最も重要なポイントです。

「場合の数」で問われること

順番を区別せず選ぶだけなら組合せ（nCr）、選んだうえで順番も区別して並べるなら順列（nPr）を使います。nPr＝n×(n−1)×…×(n−r＋1)。nCrはnPrを、選んだr人の並び替え方の数（r!＝r×(r−1)×…×1）で割ったものです。「同じメンバーでも並び順が違えば別として数えるか」を自問すると、どちらを使うべきか判断できます。

実際に解いてみる

問題：10人の会員の中から4人を選ぶとき、選び方は何通りか。 A. 126通り　B. 210通り　C. 242通り　D. 1,260通り　E. 5,040通り

この形式でやりがちなミス

最も多いのは、順列と組合せの取り違えです。「選ぶ」だけの設問に対して並べ方の数（nPr）を答えてしまったり、逆に「並べる」設問に組合せの数（nCr）を答えてしまったりします。上の例では、5,040通り（10P4）が誤答として並びますが、これは「選んで並べた場合」の数であり、設問が求めている「選ぶだけ」の答えではありません。もうひとつは、対象の人数を1人多い/少ないと数え違えるミスです。10人のはずが9人や11人で計算してしまうと、答えが大きくずれます。さらに、組合せを求める際に、重複して数えている並び方（r!）の一部しか割り切れていないミスもあります。当サイトの問題は、これらの誤りを実際に計算した値として誤答に置いています。

速く解くコツ：設問文の動詞に印をつける

「選ぶ」「並べる」「一列に並べる」「代表を決める（順位がある）」など、設問文の中で順番を区別しているかどうかを示す言葉に印をつけてから計算を始めると、順列と組合せの取り違えを防げます。組合せの計算では、分子（nPr）と分母（r!）を先に書き出してから約分すると、電卓なしでも計算しやすくなります。

本ページの問題は、特定の試験提供会社・団体とは無関係の、独自形式に準拠したオリジナル問題です。実際の試験問題の転載・再現ではありません。